固有振動数

質問

すごく初歩的な質問かもしれませんが、固有振動数と共振周波数というのは異なるものなのでしょうか？

回答No.2

Teleskope · ベストアンサー

物理でよく使う振動のモデル
　　質量m―摩擦抵抗R―バネk―支点
の運動方程式
　　md2x/dt2＋Rdx/dt＋kx = ゼロ又は外部励振
は、
2次式だから「判別式」が登場して
　　 R^2－4mk ＜ 0
のとき複素数解になりますよね、根は2つ、実数±虚数の形です。

　　根 =－R/(2m) ± √｛(R/(2m))^2－k/m ｝
　　　　= －実部 ± √｛(実部)^2－k/m ｝

判別式が負だから 時間解は振動の式 sinやcosになり、その周波数は√の中味
　　ωn^2 = k/m－実部^2
ですよね。
たとえば最初引っぱって放して、あと自由に振動させると この ωn で振動します。これを「系の自由振動」や「系固有の振動」と言います。

で、
いっぽう、共振周波数ωoの定義は、
　　ωo^2 ≡ k/m　　　電気で言えば ≡1/(LC)
です。

すなわち
　　(共振)^2－(固有)^2 = (解の実部)^2

あるいは
直角三角形のピタゴラスの定理のように、

　　(固有)^2 ＋ (解の実部)^2 = (共振)^2

以上。

参考までに電気屋の言葉では

　　(自由振動周波数)^2 ＋ (減衰係数)^2 = (共振周波数)^2

同様なことを何度も書いた記憶がありますので、ここの回答履歴にあるかも知れません。

　なお、共振と訳されてる resonation の語源は echo（反響、共鳴）なので、こっちの方からの意味で解釈した用例がよくあります。そう使っても、欧米語的な日常会話でならぜんぜん間違いではないです。　しかし専門用語としては違いますから、定義を踏まえておきましょう。
　共振は resonance.
　自由振動は free oscillation.
　固有振動 proper oscillation は、「固有の」という言葉だけでは想像が付かないかも知れませんが、系の各要素の振動が「すべて同位相になる」状態を意味してます。　自由振動の場合も この状態になってるので「その意味では」自由振動イコール固有振動と言える、です。

回答No.3

Teleskope

No.2 末尾の「固有の」の説明；

系の各要素が「すべて同位相になる」状態
　　　　　　　　　　　　　　　　↓
系の各要素が「すべて同振幅になる」状態

回答No.1

emperor_kings

説明しますね。

ある振動体を，ある境界条件（例えば棒の端を固定するとか，空気管の両端を閉ざすとか）におくと，ある固有振動数を持ちます。

この際外部から振動的な力で駆動し，その外部振動数を上の固有振動数に一致させると共振（または共鳴）して振動体は激しく振動します。したがって固有振動数を共振周波数と言うことが多いです

さて振動体が共振する姿態を振動モードと言います。これは共振している場合に限るのではありませんが，実際は共振の時の振動モードを問題にするのが普通です。例えば空気柱であれば，両端が開いていれば端面がループとなって粒子振動最大の形の振動モードをもち，両端が閉じていれば両端がノードで圧力最大の形の振動モードをもちます。両端が閉じた管では菅の長さl がその音の半波長（λ／2）の整数倍で共鳴します。すなわち周波数をｆ としてl＝nλ／2 ，fn ＝ nc／2l の関係があります。ここでｎ は1，2，3，……です。このfn が固有振動数であり，共鳴周波数です。

板や膜では複雑なモードの振動をすることはよく知られていますが，室なども3次元的に複雑な振動モードで共振します。（振動数と周波数は使いわけないで，最近はすべて周波数を使うことが多い。）

このように、一般的には固有振動数と共振周波数は同じものです。