周波数解析をエクセルツール『フーリエ解析』で実施したいのですが・・

質問

周波数解析をエクセルツール『フーリエ解析』で実施したいのですが・・
時刻歴を持った波形をエクセルのフーリエ解析にかけたところ以下のような結果が出ました。

時刻（s）波形（風速）（フーリエ結果）
0 0 4964.547892
0.01 0.016148 162.934386092482+757.485796541738i
0.02 0.024223 -176.671853947744+679.108499109482i
0.03 0.032297 -38.1198577747876+304.999881074942i
0.04 0.040371 -33.7184553866481+283.069540754i
0.05 0.047921 67.2878230094194+268.189434427773i
0.06 0.055471 -5.3340068659851+181.755877831686i
0.07 0.063021 43.7700366445313+188.325607658826i
0.08 0.070571 95.1628904739282+115.524911946043i
0.09 0.078121 79.1610244918527+286.809861194846i
0.1 0.084849 -20.9326884388047+207.486443103952i
0.11 0.091578 -10.0874722910491+176.517532576085i

この場合の結果をパワースペクトル密度にしたいのですが，
一番上が定常分で，事項以降が　ωt，2ωt，・・・ｎωtということに
なって，それぞれの実部^2+虚部^2の平方がスペクトルになると思いますが
これを横軸周波数のおなじみのグラフにするには横軸の周波数はどのよう
に考えればいいのでしょうか。
（たとえば2ωtの項の場合の周波数はいくらになる？）
また，風速のパワースペクトルの単位はどのようになるでしょう。
基本的な質問だと思います。とても恥ずかしいのですが，ご教授いただけますか。
もしかすると根本的な間違いをしている気もします・・

回答No.1

paddler · ベストアンサー

> これを横軸周波数のおなじみのグラフにするには横軸の周波数はどのように考えればいいのでしょうか。

例えば、256点のデータをエクセルで「フーリエ解析」したとします。結果も256点(#0～#255とします)出てきます。ただし、パワースペクトル（複素数の実部^2＋虚部^2）にすると、#1～#127と#255～#129は対称形になっていますから、実際には129点の結果になります。
さて周波数ですが、この#1は

　元のデータ256点の中に、ちょうど1周期現れる周波数

に相当します。サンプリングの定理から、最大周波数は、256点の中に128周期の波で、周期は2点毎の波になります（#128）。

具体的に、例えばデータ間隔が１秒で全256点の場合、#1の周波数は1/256Hz、#2の周波数は1/128Hzになります。

お礼

急いでいる割になかなか時間が取れなく，お返事が遅れました。申し訳ありません。
ですが，とてもよくわかりました。元のデータのデータ間隔が0.05秒の場合で，1024データであれば＃1のは0.05/1024Hz，＃2は0.05/1024*2Hzでよろしいですよね。

回答No.4

paddler

> 元のデータのデータ間隔が0.05秒の場合で，1024データであれば
> ＃1のは0.05/1024Hz，＃2は0.05/1024*2Hzでよろしいですよね。

すみません、私の書き方が良くなかったのでしょうか。

データ間隔0.05秒で1024点だと、全観測時間は0.05秒×1024＝51.2秒です。
＃1はこの51.2秒の中に1回振動する波なので、1/51.2Hz すなわち
1/(0.05×1024) の計算になります。

お礼

式から理解すれば，当然のお話なのでしょうが，このような相手に親切にご教授戴きありがとうございました。実際の作業はこれからになるのですが，グラフはかけますし，これを基にもう少し深く勉強して作製したいと思います。ありがとうございました。

回答No.3

paddler

No.2です。

書きっぱなしになっていましたが、

> なおDC成分（周波数=0）だけは 2で割らないで、<DC成分のRMS値の2乗>×<FFT点数の2乗>となっていますのでご注意を。

は、意味不明でしたね。DC成分に「RMS値」の概念は当てはまらない(RMSを計算すると0になる)ので、単に

　　DC成分については、<DC成分の値の2乗>×<FFT点数の2乗>

ですね。

回答No.2

paddler

> また，風速のパワースペクトルの単位はどのようになるでしょう。

「フーリエ解析」の結果をパワースペクトル（複素数の実部^2＋虚部^2）にしたものの縦軸は、

　<元の周期成分のRMS値の2乗>×<FFT点数の2乗>÷2

になるようです。例えば、元の波形がCos(ωt)、すなわち振幅=1で、データ点数が256点の場合、パワースペクトル結果は、

　0.707107^2×256×256/2 = 16384

になっています。これをFFT点数に拠らない元のRMS^2に換算するには、エクセルの結果を「2倍した後、FFT点数の2乗で割る」といいと思います。

なおDC成分（周波数=0）だけは 2で割らないで、<DC成分のRMS値の2乗>×<FFT点数の2乗>となっていますのでご注意を。