ベクトルの問題です。

質問

今日は。ベクトルの問題集で分からないところがあります。

座標平面上に３点A(2，0)、B(4，0)、C(0，4)がある。
点D(0，1)を中心とする半径1の円の周上の点Oが、次の条件を満たすとき、
点Oと直線ACの距離を求めよ。
→ →　→　　→
AC・(2AP－AB)＝[AC]^2 ※[]は絶対値です。

考えた結果、平行な二つのベクトルを掛けるとゼロになる、という法則を使うように思われるのですが。。
ちなみにヒントとして、
、→　→　→　→　→
2AC・AP＝AC・(AB＋AC)
と記されていましたが、お手上げです。

分かる方がいらしたら、教えてください。

回答No.3

skylark · ベストアンサー

2AC↑・AP↑=AC↑・(AB↑+AC↑)まではOK.

C,Aを通り、x軸、y軸に平行な直線が交わる点をD、線分ADの中点をEとする。
AB↑+AC↑=AD↑, 1/2AD↑=AE↑であるので、上の式の右辺を移項して、
AC↑・(AP↑-AE↑)=AC↑・EP↑=0
すなわちAC↑とEP↑は直交する。
そこで線分ACと線分EPの交点をHとすると、PH⊥AC よってこのPHの長さが求めるものになる。

あとは蛇足っぽいですが、直線ＡＣの方程式y=-2x+4と直線EPの方程式y=1/2x+1を使ってHの座標を求めると、（6/5、8/5）になる。直線EPが円の中心Oを通ることに注意すると、PH=OH-OPでPHが出る。OHは三平方の定理で計算できる。
PH＝(3√5/5)ー１

お礼

遅くなりましたが、丁寧な回答ありがとうございます。問題を解く上で助けとなりました。

回答No.2

Rossana

>考えた結果、平行な二つのベクトルを掛けるとゼロになる
『垂直な』の間違いですね．
円上の点P(a,b)，点Pから直線ACに下ろした垂線の足をH，原点Oとします．

AC↑・(2AP↑－AB↑)＝|AC↑|^2
⇔2AC↑・AP↑－AC↑・AB↑＝AC↑・AC↑
⇔2AC↑・AP↑＝AC↑・AB↑＋AC↑・AC↑
⇔2AC↑・AP↑＝AC↑・(AB↑＋AC↑)
⇔2AC↑・AP↑＝AC↑・OC↑
⇔2AC↑・AP↑＝|OC↑|^2
⇔2AC↑・(AH↑＋HP↑)＝|OC↑|^2
⇔2AC↑・AH↑＝|OC↑|^2
⇔2|AC↑||AH↑|＝|OC↑|^2
これより，|AH↑|が求まります．
あとは，△AHPにおいて三平方の定理．
また，点Pはa^2+(b-1)^2=1を満たします．
これらの式の連立で点P(a,b)が決定され，あとは点と直線の距離の公式を使えばPHが求まるという流れでできると思います．でも，もっといい方法がありそうですね．

お礼

遅くなりましたが、迅速な回答をありがとうございます。大変参考になりました。

回答No.1

keithilmari

点Ｐとはなんですか？

補足

すみません。問題文中の点Oが点Pです。