共振と地震

質問

「高層ビルは地震に対して比較的ゆれにくい」ということを聞き
共振の弦を強く張る(これはビルだし当然強い)＆同じ材質のものであれば、細いほど固有振動数は高くなることが関係しているのではないかという所までは調べてみたのですが
できればこれを具体的な数字を使って計算(証明)してみたいのですが計算方法がわかりません。
さらに、地震のゆれの周期もわからないので求め方などわかる方、教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.4

noname#65504

＃３です。
質問文で周期と振動数が混在しており、お礼欄で具体的数値が書いてあったので、混乱して、記述ミスがありましたので、用語を振動数に統一して訂正します。

卓越振動数が１秒程度以下のことが
　　　↓
卓越振動数が１Hz程度以上のことが

振動数成分を調査すると１秒程度以下のことが多いことが
　　　↓
振動数成分を調査すると1Hz程度以上のことが多いことが

兵庫県南部地震では、１秒ちょっとのところの
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兵庫県南部地震では、１Hz弱のところの

回答No.3

noname#65504

１．前半について
共振の理論からいって、入力波が正弦波のような単振動であれば、入力振動数と構造物の固有振動数が一致すると共振して、減衰がないとその変位は無限大となります。またこれらの値が近いほど応答倍率が大きくなります。
入力振動数より無限大に構造物の固有振動数が高くなると増幅せず、完全に同じ大きさで動きます。
逆に入力振動の振動数が構造物の固有振動数√（１／２）倍より大きくなっていると、応答値が入力より小さくなることがわかっています。
これは機械振動の本にたいてい書いてあります（たいていの図では入力振動数／固有振動数を横軸にとって書いてあります）。
例えば、「機械振動」亘理厚　著、丸善　１０５ページ

地震動の振動は正弦波のような単純な成分ではなく、また地震動ごと、地盤ごとによ異なりますが、だいたい卓越振動数が１秒程度以下のことが多いことから超高層ビルは固有振動数を低く(0.5Hz程度以下)にすることにより、地震動の卓越振動数による共振を押さえているので揺れにくいといわれています。

すなわち、固有振動数を高くすることで揺れにくくしているのではなく、固有振動数を低くすることで揺れにくくしているといえます。

次に弦の固有振動数ですが、弦の振動数は張力と弦の単位あたりの質量、弦の長さから求められる値ですので（これも機械振動などの本にはたいてい書いてあります）、細さは関係ないと思います。

なお、蛇足ですが＃１さんが書かれているおもりを載せてというシステムは一部のビルで採用されていますが、最近の全ての超高層がそのシステムを採用しているわけではありませんので、誤解ないように（以前も高層ビルは全て免震構造を採用されていると思いこんでいた方がいたものですから）。

２．後半について
　地震動の揺れは先にも書いたように単純ではなく様々な振動数成分を持っています。但し建築構造物に影響する範囲の振動数成分を調査すると１秒程度以下のことが多いことが過去の記録からわかっています（但し、地震の記録が本格的に計測できるようになったのは１９６０年代後半ですので、たかが４０年程度の記録ですので、予測外の振動数成分を持つ物が現れれる可能性があります）。

参考までに中高層ビルの被害が多かった、兵庫県南部地震では、１秒ちょっとのところの振動数成分が多かったことが原因といわれています。

また、地震工学では地震動の卓越振動数を求めるのに地震波形をフーリエ解析する方法と応答スペクトルを求める手法がよく使われています。
これについては良書がありますので、紹介しておきます。

参考URL：

http://bookweb.kinokuniya.co.jp/htm/4306032701.html

回答No.2

First_Noel

ビルのような柔軟構造物の動的な計算（周波数応答）は結構大変だと思います．

こちら参考になりますでしょうか．
ＰＤＦなので，ここにＵＲＬ書いておきます．

http://feedback.mech.fukui-u.ac.jp/lecture/modern/chap1f.pdf

回答No.1

12m24

機械振動学、あるいは機械運動学の知識があれば解析可能ですが、大学の機械科3年ぐらいの内容になります。ちょうど「片持ちはり」に置き換えれば、考えやすくなります。
　簡単に書けば、

「強く張る」＝「ビルが変形しにくい」→固有振動数大
※揺れて部材が引っ張られるときは主に鉄筋が力を受け持ちます。
「揺れの向きの長さに対して物体の長さ（この場合ビルの高さ）が長い」→固有振動数小

という傾向を示します。

　また、地震による力は、周期を設定しないと求まりません。そのうえ、地震の周期によってはかえってゆれが大きくなってしまう場合もあります。これが共振です。
　とりあえずは数式なしで説明させていただきましたが、数式を調べたい場合は、図書館などで「振動」「機械運動学」をキーワードで本を探し、その中から「はりの振動」を探すと見つかるはずです。簡単に説明されている本は説明や数式が少ないと思いますので、専門書で探したほうがいいのではないかと思います。

　なお、現在の高層ビルは、ビルの比較的高い部分に相当に大きな質量（100トン～500トン）の振り子を載せて、ゆれを抑えています。

補足

早いお返事ありがとうございます。
ビルの固有振動数を求めるのは難しいようですね・・・

少し調べてみて地震のゆれの周期は1秒もないということはわかったので（あまり自信はないのですが）
ビルの固有振動数が大きいということを証明したいのですが、どうすればいいでしょうか？
代わりの質問という形で申し訳ないのですが、お願いします。