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質問

下の問題の(2)で単調に増加のグラフは1番下の写真のようなグラフではダメですか？他の問題で単調に増加のグラフは1番下の写真のような形だったのですが必ずこの形という訳ではないのですか？

回答No.1

maskoto · ベストアンサー

減点される可能性が高いと思われます
数学3の内容になるかと思われますが、

f(x)＝x³+3x
f′(x)＝3x²+3
を求めたら、もう一回微分して
第二次導関数f′′(x)を求めますと
f′′(x)＝(3x²+3)′＝6x
この第二次導関数:f′′(x)が正の区間では
グラフは下に凸となり、負の区間ではグラフは下に凸となります
そして、f′′(x)＝0となるxではグラフの凹凸が切り変わるので、この点を変曲点と言います

画像の問題ではx＜0ではf′′(x)＝6x＜0
より、上に凸のグラフとなるので
質問者さんが描いたような、上に凸のグラフから下に凸のグラフに切り変わるようなグラフでは誤りと言う事になります

回答No.2

maskoto

もう少し補足すると
グラフ上をX座標が小さい場所から大きい方向に向かって進むとき…①
左カーブを描くならそのグラフは下に凸
右カーブならそれは上に凸です
(例えばY＝X²のグラフは①のように進むとき左カーブになっていて下に凸
これは、Y＝X²を１回微分すると
Y′＝2x
もう一回微分すると
Y′′＝2＞0
二階微分したものが正ならグラフは下に凸(左カーブ)と言う事にも一致しています)

画像の問題ではx＜0の部分で
2回微分＝6xが負なので
そのグラフは右カーブ(上に凸)でなければいけません
質問者さんの描いたグラフは右カーブから左カーブに切り変わるので誤りとなります

なお、3次関数グラフは
上に凸(右カーブ)から下に凸(左カーブ)に切り替わる変曲点(f′′(x)＝0となるx)で点対称であると言うことも記憶しておくと有利です
例えばy＝x³のグラフは
y′＝3x²
y′′＝6x
y′′＝0となるのはx＝0であり
この前後で右カーブから左カーブに切り替わるので
(0、0)が変曲点です　
y＝x³は変曲点である(0、0)に関して対称なグラフを描きます(時間があったら確認してみると良いです)