電気磁気

質問

図のように3本の無限に長い平行導線A,B,Cが互いに並行かつ断面が一辺の長さがd[m]の正三角形をなすように置かれている。各導線には同じ大きさの電流I[A]が図のように流れている。真空の透磁率をμとする。

各導線に働く電磁力ベクトルは？
という問題で、回答がFB=I^2/2πd(1/2,-√3/2,0)
FC=I^2/2πd(-1/2,-√3/2,0)なのですが、
このベクトル成分なぜこのようになるかがよくわかりません。
解説お願いしたいです。お手数おかけしますがよろしくお願いします。

回答No.1

maskoto · ベストアンサー

一本の直線電流が、距離r地点に作る磁界は
Ｈ＝I/(2πr)
磁束密度は
B＝μＨ＝μI/(2πr)
向きは右ネジの法則に従う
このことから電流Aにより生じる
B地点の磁束密度は
辺ABに垂直で左斜め上向きに
大きさμI/(2πr)
これをベクトルで表すと
{μI/(2πr)}(−cos30°、sin30°、0)
同様に右ネジの法則から電流CによるB地点での磁束密度{μI/(2πr)}(0、−1、0)
ベクトル合成すると、B地点の磁束密度は
{μI/(2πr)}(−cos30°、sin30°、0)
+{μI/(2πr)}(0、−1、0)
＝{μI/(2πr)}(−√3/2、−1/2、0)
ゆえに、Bが長さLあたり受ける電磁力は外積で
→F＝I(→L)×(→B)
＝I(0、0、L)×{μI/(2πr)}(−√3/2、−1/2、0)
＝{μI²L/(2πr)}(1/2、−√3/2、0)
単位長さあたりの電磁力であれば
L＝1、そして本問ではr＝dでしたので
→F＝{μI²/(2πd)}(1/2、−√3/2、0)
を得ます

不明な点があれば補足を
(もう寝るので返信は明るくなってからになりますが…)

補足

回答ありがとうございます。
なぜ、{μI/(2πr)}(−cos30°、sin30°、0)
同様に右ネジの法則から電流CによるB地点での磁束密度{μI/(2πr)}(0、−1、0)
のベクトル分がこのようになるかわからないので教えていただきたいです。

回答No.2

maskoto

画像は、導線と垂直な平面の図です
図の白丸は導線の断面を表していて
導線には図の裏から表に向かって電流が流れているものとします
このとき、この平面にできる磁力線が
導線を中心とする複数の円で、向きは図に示した矢印の向きとなります
(導線の白丸のところへ裏から右ネジをさして、ネジを裏から見て右回りに回すと、ネジは電流の方向へ進んで行くわけですが、右ネジの回転方向を磁力線の矢印の向きに、
右ネジの進行方向を電流の向きに見立ててあげると、電流と磁力線の向きの関係が把握しやすくなります…これを右ネジの法則と呼びます)
そして、図の赤の点における磁場ベクトル
→Ｈは、赤点を通る磁力線の円周の接線方向となり、→Ｈの向きは赤点での磁力線の矢印の向きと一致します
(赤矢印は赤点における→Ｈを図示したもの)

これを踏まえて、ご質問の画像の図に
Cを中心として、点Bを通る磁力線の円周を書き込みます
そして、Bにおける円の接線の方向に磁場ベクトルの矢印を書き込みます(私の画像や、右ネジの法則に従う向きに→Ｈを作図します)
そうすると、Bを通るyのマイナス方向の矢印が書けます
そして、このベクトルの大きさは
{I/(2πd)}ですから
Cの電流がつくるB地点の磁界ベクトルは
→Ｈ＝{I/(2πr)}(0、−1、0)
磁束密度は
→B＝μ(→Ｈ)＝{μI/(2πr)}(0、−1、0)
となるわけです

Aの電流の向きはCとは反対である事に注意して、同様に、AがつくるB地点の磁界ベクトルを作図すると、これは辺ABに垂直で左斜め上向きである事がわかります
これを、x方向とy方向へ分解して、→Bの成分を調べると、先に解説したようになるわけです