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質問

下の問題の別解の方で直線上の格子点の数がn+1となるのは何故ですか？また、最後の格子点の数を求める時にn+1を引いて×½してからまたn+1を足すのはなぜですか？½{(n+1)(2n+1)}+(n+1)ではだめですか？

回答No.2

maskoto

直線上に存在する格子点の個数の数え方についてですか？

それとも、一旦直線上の格子点を間引いて
÷2
をする理由ですか？

回答No.1

maskoto

模範解答とは異なる順(y座標が小さい順)に
直線上の格子点を書き並べると

(2n、0)
──────
(2n−2、1)　　
(2n−4、2)
…
(2、n−1)
(0、n)

横線より下のy座標は順に
1、2、3…n−1、n
だから、カッコの個数、つまり格子点の数も
1個、2個、3個…n−1個、n個と数える事によって
横線より下の格子点は
n個(最下部のy座標と一致)
となります
これに(2n、0)を加えて
n+1個です

2つ目の質問について
図を見て分かる通り
長方形を二等分する直線:x+2y＝2n
上の格子点は、左下の三角形に属する
とも、右上の三角形に属するとも言えます
そこで一旦、このどっちつかずな直線上の格子点は間引いて考えると
｛(n+1)(2n+1)−(n+1)｝個が残るので
直線上にない格子点を二等分すると
(1/2)｛(n+1)(2n+1)−(n+1)｝
と言う事になります
これに、先程間引いた直線上の格子点を復活させ加えると
(1/2)｛(n+1)(2n+1)−(n+1)｝+(n+1)個です

このため、どっちつかずの格子点を考慮していない
½{(n+1)(2n+1)}+(n+1)は誤りです

補足

直線上の格子点の個数についてもう少し詳しく教えて頂きたいです。