中3 数学（線分比・面積比 高校への数学4月号）

質問

中3の数学の問題です。
9（3）の考え方や流れは理解できますが、(2)の式を利用するときに、なぜaや(1/3)n-1が出てくるのかがわかりません。
数学が得意な方、回答お願いします🙇

回答No.2

maskoto · ベストアンサー

aはP₁の一辺の長さですから
a＝(12/5)
そして、相似比が3/5倍なので
P₂の一辺＝a×(3/5)¹
同様に相似比が(3/5)なので
P₃の一辺＝P₂の一辺×(3/5)＝a×(3/5)²
同様にして
P₄の一辺＝a×(3/5)⁴
…
です
どの正方形の一辺も、aは共通です
そして、3/5をかける回数(何乗部分)は
Pの右下の添字より一個少なくなっていることに気が付きます
ゆえに、この規則性から
Pnの一辺は、(3/5)をnより一つ減らして
n-1回掛け算して、更にaを掛けたものになることがわかります
つまり
Pn＝a×(3/5)^(n-1)　です
ただし、「^(n-1)」はn-1乗を意味します
(ちなみに0乗は1になるので、この式にn＝1を代入すると
P₁＝a×(3/5)⁰＝a×1＝aとなり
P₁＝aであることに矛盾がありません)

なお、これは等比数列と呼ばれます
余裕があるなら等比数列を検索してみるのも良いです

お礼

スマホを触れず、お礼が遅くなってしまい申し訳ないです💦 とてもわかりやすい、丁寧な解説をありがとうございました！

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回答No.4

takochann2

等比級数と言う数列の問題です。P(n)＝P(n-1)ｘ(3/5）の等比級数です。P(n=1）の時はa（=12/5）にならなければいけないのでP(n)＝a(3/5)＾(n-1)になります。この一文はあまり数学的に思えないかもしれませんが、起点であるn=1の際のPの値は人為的に決めた起点ですので問題に矛盾しないように決めてよいのです。
　若かりし頃は大学への数学をよくやりました。今でもコンテストはあるのでしょうか。

お礼

反応が遅くなってしまい申し訳ありません💦 まさか、大学への数学の購読者だった先輩から回答がもらえるなんて思ってもいませんでした。 回答ありがとうございます！

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回答No.3

maskoto

😓訂正です

☓　　P₄の一辺＝a×(3/5)⁴
　　　　↓
◯　P₄の一辺＝a×(3/5)³

お礼

丁寧に説明していただき、ありがとうございます！

回答No.1

f272

p2=(3/5)p1
p3=(3/5)p2
であれば
p3=(3/5)^2*p1
になるよね。同じように何回も添字をずらしていけば
pn=(3/5)^(n-1)*p1
となってp1=aを使えば
pn=a*(3/5)^(n-1)

お礼

お礼が遅くなってしまい、申し訳ありません💦 迅速かつ簡潔な解説でとてもわかりやすかったです。 ありがとうございました🙇

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