力積の計算について

質問

添付資料ご確認いただけますと幸いです。 傾斜を玉が降った際に、その先の壁に当たった際にどれだけの衝撃が壁に伝わるか（力積）計算方法をご教授いただけないでしょうか。

回答No.5

ddtddtddt

#4です。すいません、非常に間違いました。

　(1)の m1･m2／(m1＋m2) の項で、m2→∞とすると、m1･m2／(m1＋m2)＝m1。

　(1)の R1･R2／(R1＋R2) の項で、R2→∞とすると、R1･R2／(R1＋R2)＝R1。

・・・でした。
　従って(2)は、添付図となります。m1は当然 5 kg，R1は、想定している球の半径です。失礼しました。

回答No.4

ddtddtddt

力積と衝撃力の違いを意識しておられるでしょうか？。質問の文面では区別していないように思えました。で、どちらが必要なのでしょうか？。

　力積とは大雑把に言えば、［力］×［その力が作用した時間の長さ］の事です。今の場合で言えば、［衝突による衝撃力］×［衝突開始から終わりまでの時間の長さ］となります。以後いちいち［衝突開始から終わりまでの時間の長さ］というのは面倒なので、これを［衝突時間］と呼びます。
　上記は定義なので、［力］が［衝突時間］のあいだじゅう変化しない、一定であるという仮定を含んでいます。しかし#2，#3さんの紹介したURLにあるように、現実には［衝突時間］のあいだじゅう［衝撃力］は一定ではありません。衝突開始時の衝撃力は小さく、衝突過程の途中で最大衝撃力となり、衝突終了時にまた小さくなるというのは、容易に想像できると思います。

　そういう訳で、
　　1) 力積と衝突時間が既知　⇒　力積／衝突時間で平均衝撃力を出せる．
　　2) 力積と最大衝撃力が既知　⇒　力積／最大衝撃力で平均衝突時間を出せる．
というところが、現実的には精一杯なところで、

　　3) 衝撃力の時間変化が既知　⇒　衝撃力の時間積分　⇒　正確な力積．

という幸運は、まず起きません(^^;)。

　それで例えば、力積と衝突時間をどうやって知るかというと、普通は実験します。#1さんの仰るように衝突前後の球の速度がわかれば、運動量保存則から球の失った運動量が、力積として壁へ伝わった事になります。衝突時間はハイスピードカメラなどを利用し、衝突の瞬間と終わりを画像から目視判断したりします。もちろん球に加速度計を搭載すれば3)も出来なくはないのですが、実験はしょせんケースバイケースでその場限りのものです。よって、ある程度の一般的目安を得るには、状況を限定する条件が必要です。

　以下の計算法は近似計算です。条件は完全弾性衝突である事。現実には完全弾性衝突はあり得ないので、ここでまず近似です。また最大衝撃力しか出せません。
　衝撃力の時間変化を知るには、衝突過程を運動方程式を解いて調べるしかありません。そのとき必要になるのが、球と壁の物性値である弾性係数などです（添付図の(1)）。(1)では、衝突体を球，被衝突体を壁と思ってください。この式は、2つの球が弾性衝突するときの最大衝撃力を計算するもので、運動方程式を詳細に解かずに得られる、簡易解法の結果です。近似を始めます。

　　(a) 壁は球を受けるものなので、衝突前後でそれは動かいないものとします。
　(a)は、壁の質量m2が無限に大きいのとほぼ同等です。(1)の m1･m2／(m1＋m2) の項で、m2→∞とすると、m1･m2／(m1＋m2)＝1。

　　(b) 壁は球を受けるものなので、球より十分寸法が大きいとします。

　(b)を理想化すると、壁の半径R2が無限に大きいのと同等です。(1)の R1･R2／(R1＋R2) の項で、R2→∞とすると、R1･R2／(R1＋R2)＝1。以上の近似を行うと、(2)が得られます。E1とE2，ν1とν2は、球と壁の材質を決めてネットで調べれば、具体的な値が得られます。

　例えば鉄（球），コンクリート（壁）なら、
　　E1＝200000 N/mm2，E2＝22000 N/mm2．
　　ν1＝0.3，ν2＝1/6．

　衝突速度vは皆さんの仰る方法で計算し、30°を考慮してその水平成分をとれば良いでしょう。(2)で計算して良いのは、球と壁が弾性衝突し、壁がでかくて重くて、ほとんど動かない場合に限られます。でも衝撃力の大きさの目安くらいにはなると思います。
　ちなみに弾性衝突の衝撃力は、非弾性衝突の衝撃力より大きくなるので、その意味でも(2)のPは最大衝撃力です。また壁が動かず弾性衝突なら、球は来た時と同じ速度で跳ね返るので、vの水平成分をvhとして壁に伝わる力積は、2×m1･vhとなり、これも最大です。

　じつは(1)は、落石が地面と衝突した時の衝撃力を算出する式の原型で、けっこう正しかったりするんですよ(^^)。

回答No.3

Tacochin

回答No.2の補足です。
式ばかりでは、分かり難い部分もあるかと思いますので、図解入りでもう少し掘り下げて説明させていただきます。

1) 初期条件：
初期条件について触れてなかったため、以下追記しました。

◆球体のころがり摩擦
...指定ないため考慮しない。摩擦抵抗のない滑らかな斜面として扱う。

◆球体の初速度
...指定ないためv0=0とする（斜面の上方で停止した状態から解放する）

2) 場面の置き換え
前回答（No.2）は、衝突の状況から一定力の状況へ置き換えて計算しています。

・斜面
→角度なしの平面

・球体がごく短時間で壁に衝突
　→球体と壁が最初から接触していて、壁を一定時間押し続ける。

文章よりも、図解の方がイメージしやすいと思いますので、詳細は添付画像を参照願います。

こちらのサイトも分かりやすと思います。合わせてご参照ください。
↓
https://www.yukimura-physics.com/entry/dyn09

回答No.2

Tacochin

質問者さんにも考えていただくため、解答そのものを示すのではなく、計算式と考え方に限定して回答したいと思います。ご了承ください。提示した式に当てはめて計算してみてください。解答は数値として最も基本的で分かりやすい値になるはずです。

1) 球体を斜面方向に引っ張る力Fを求める
F = ㎎ * sinθ
--------------------
m ...球体の重量[kg]
g ...重力加速度9.8[ｍ/s²]
θ...斜面の角度
--------------------
単位：
[N] = [kg]*[ｍ/s²]

2) 斜面方向の加速度aを求める
ma = mg * sinθ
a = g * sinθ

3) 球体が壁に衝突するまでの時間tを求める

U = 斜辺の長さ
底辺の長さが100[mm] = 0.1[m]，θ=30°なので
U = (√3/2)*0.1[m]

★直角三角形の辺の比...H：U：P = 1：2：√3

運動方程式 U = v₀t + 1/2(at²)にて初速v₀=0
従って
U = 1/2(at²)
t=√(2U/a)

単位：
√([ｍ]/[ｍ/s²]) =[s]

4) 力積（F * t）を求める

F * t = ㎎ * sinθ * (√(2U/a))

単位：
[N⋅s] = [kg⋅m/s²⋅s] = [kg⋅m/s]
ニュートン秒

ヒントになるサイト
https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/physics/exercise/mechanics/motion/law_of_motion/henkan-tex.cgi?target=/math/physics/exercise/mechanics/motion/law_of_motion/slope_1.html

回答No.1

maskoto

例えば
壁に衝突した直後
玉が、どれくらいの速さで跳ね返るのか
と言う事がわからないと力積は求まりません

もし、それがわかるなら
求めるべき力積(の大きさ)
＝玉の質量×衝突直後の速さ-玉の質量×衝突直前の速さ
で計算できます

衝突直前の速さは、
力学的エネルギー保存の法則
などで求める事が可能

補足

回答ありがとうございます。
いまいち、理解できていません。
詳しく伺えないでしょうか。