中３の子供の問題を解いているのですがわからない点

質問

数学の問題ですが解答を見せてもらっても解き方がわかりません。
ご教示頂けるでしょうか？
多分符号を反対にするのではないかと思うのですが。

①a²＋ab＋b－１の因数分解
②（a＋b＋c－d)(a＋b－c＋d)＋(－a＋b＋c＋d)（a－b＋c＋d)を展開せよ。

解答は
①は（a＋１)(a＋b－１)
②は4ab＋cdです。

途中の解き方を教えていただけますか？宜しくお願いします。

回答No.3

gamma1854

1) はいいでしょう。
2) a+b+c+d=S 遠くと与式は、
(S-2d)(S-2c) + (S-2a)(S-2b)
=2S^2 - 2*S*S + 4(ab+cd)
=4(ab + cd). .... (要かっこ)

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

kurokuro_siro

久しぶりにやってみました

掛け算の記号は＊ではなくxを使っています

①a²＋ab＋b－１の因数分解
=a(a+b)+b-1　⇒とりあえずaでまとめます
=a(a+b)+a+b-1-a　⇒プラマイ0ですがaを足し引きします
=a(a+b)+(a+b)-1-a　⇒a+bでまとめていきます
=a(a+b)+1x(a+b)-1-a　⇒1倍しても値は変わりません
=(a+1)(a+b)-1-a　⇒a+bでまとめました
=(a+1)(a+b)-(a+1)　⇒　-1-a は -(a+1) でもあります
=(a+1)(a+b)-(a+1)x1　⇒1倍しても値は変わりません
=(a+1)(a+b-1)　⇒a+1でまとめて解答になります

＞解答は
＞①は（a＋１)(a＋b－１)

合ってると思います。

②（a＋b＋c－d)(a＋b－c＋d)＋(－a＋b＋c＋d)（a－b＋c＋d)を展開せよ。
前から順に計算すれば力業でとけます
その場合掛け算が先で順に行います
でも長すぎるので楽にやる方法考えます

=((a+b)+(c-d))((a+b)-(c-d)) + (-(a-b)+(c+d))((a-b)+(c+d))
　　⇒aとbの組み合わせ、cとdの組み合わせでまとめてみます
=(a+b)^2 -(a+b)(c-d)+(c-d)(a+b)-(c-d)^2
-(a-b)^2-(a-b)(c+d)+(c+d)(a-b)+(c+d)^2
　　⇒そのまま掛け算しました。１行目が前半、２行目が後半です

=(a+b)^2-(c-d)^2
-(a-b)^2+(c+d)^2
　　⇒間の複雑なところは引き算で消えました
　　　１行目が前半、２行目が後半です

=a^2+2ab+b^2 - (c^2-2cd+d^2)
-(a^2-2ab+b^2)+(c^2+2cd+d^2)
　　⇒(m+n)^2などの結果は決まった形なので考えずに書き換えます

=a^2+2ab+b^2 - c^2+2cd-d^2
-a^2+2ab-b^2 +c^2+2cd+d^2
　　⇒マイナスのついたかっこをはがします

=4ab+4cd

＞②は4ab＋cdです。

あれー、回答と違ってしまった…4って書いてないですか？

お礼

ありがとうございます。
記載ミスでした。
4ab+4cdが正解です。

回答No.1

kiha181-tubasa

この問題は高校数学Ⅰの教科書レベルの問題ですね。
①について
数学Ⅰでなら「２つ以上の文字の整式の因数分解では，一文字（次数の低い文字を選ぶと楽）について降べきの順に整理せよ」と教えるのですが，それに従ってみましょう。
aについては２次，bについては１次なのでbについて降べきの順に整理します。すると
a^2+ab+b-1
=b(a-1)+(a^2-1)　（aの一次式になりました）
=b(a-1)+(a+1)(a-1)　（共通因数a-1が見つかりました）
=(a-1)(b+(a+1))
=(a-1)(a+b-1)　……答

②について
（a＋b＋c－d)(a＋b－c＋d)＋(－a＋b＋c＋d)（a－b＋c＋d)
項を適当にまとめて，よく知っている分解公式を使える形を作ります。
（a＋b＋c－d)(a＋b－c＋d)＋(－a＋b＋c＋d)（a－b＋c＋d)
=((a+b)+(c-d))((a+b)-(c-d))+((c+d)-(a-b))((c+d)+(a-b))
=(a+b)^2-(c-d)^2+(c+d)^2-(a-b)^2　（展開公式(x+y)(x-y)=x^2y^2）
=a^2+2ab+b^2-(c^2-2cd+d^2)+c^2+2cd+d^2-(a^2-2ab+b^2)
=a^2+2ab+b^2-c^2+2cd-d^2+c^2+2cd+d^2-a^2+2ab-b^2
=4ab+4cd　……答
以上のとおりです。

お礼

ありがとうございます。